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切线长最新娱乐体验_圆的切线长图解(2024年12月深度解析)

内容来源：天津万源聚所属栏目：话题更新日期：2024-12-04

切线长

「中考」「初中数学」切线长定理

【圆中常见辅助线】遇到弦时，处理方式：常添加弦心距遇到直径时，处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。遇到有切线时，处理方式：添加过切点的半径（连结圆心和切点）遇到两相交切线时，处理方式：常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点（切线长定理）

𐟓š 圆的十大定理与模型解析 𐟓 𐟔 圆的十大定理，是中考数学中的重点知识，掌握这些定理可以帮助你更好地理解和解决圆的相关问题。以下是圆的十大定理与模型的详细解析： 1️⃣ 弦切角定理与切割线定理弦切角定理：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角。切割线定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点到圆心的距离等于半径。 2️⃣ 中点弧模型点P是优弧AB上一动点，则PC=PB，PC=PA。 3️⃣ 内心模型与等腰外接圆+内心→得等腰三角形。 4️⃣ 线段和差问题利用中点弧与旋转模型，可以求出圆中三条线段之间的数量关系。 5️⃣ 托密勒定理 ADⷂC+ABⷄC=ACⷂD。 6️⃣ 阿基米德折弦定理已知M为AC的中点，B为AM上任意一点，且MD垂直于BC于D，则AB+BD=DC。 7️⃣ 平行弦与相交弦平行弦：圆的两条平行弦所对的孤相等。相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 8️⃣ 割线定理割线PD、PC相交于点P，则PA-PD=PB-PC。 9️⃣ 垂径图弧中点与垂径图：AD平分CAB，D是CB的中点，DOILCB，CE=EB。垂径+相等的三段弧：AB是OO的直径，C是D的中点，弦CELAB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。证CO/BD，AD=CE，P是线段AQ的中点，CPⷃE=AHⷁB=CQⷃB。 𐟔Ÿ 等腰图直径在腰上：BD=CD=ED，DFAC，F是EC中点，DF是切线。圆心在三线上：AB是直径，AB=AC，则有BD=CD,AB=AC,OD=-CE，ADIBC,CEBC,ADICE，LABO=LOAB=LOAC=LOCA=LACE，LAON=LABD=LACD，AAOB丝AAOC，AAONAABDAACD。 𐟓 通过掌握这些定理和模型，你可以更好地理解和解决圆的各类问题，为中考数学取得好成绩打下坚实的基础。

【赶紧学起来！《圆》提分笔记】圆来不过如此！初三数学《圆》全章预习笔记来啦，这13大类题型你都预习到了吗？ 1、垂径定理 2、圆周角定理及推论 3、点与圆的位置关系 4、直线与圆的位置关系 5、切线的性质 6、切线的判定 7、切线长定理 8、内切圆与外接圆 9、圆中的证明与计算 10、圆中的最值 11、四点共圆 12、圆幂定理 13、弧长和扇形面积初中数学笔记，初中数学知识点，中考数学，数学公式！ #自我提升指南# #中考加油#

𐟓š 初三数学知识点全解析（三）𐟓 ### 平行线与三角形平行线等分线段定理及其推论1、2 三角形、梯形的中位线定理平行线间的距离处处相等（例如，找面积相等的三角形）重要辅助线常连结四边形的对角线梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形作图：任意等分线段圆的基础知识圆的定义弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆等概念 “三点定圆”定理垂径定理及其推论 “等对等”定理及其推论与圆有关的角圆心角定义（等对等定理）圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）弦切角定义（弦切角定理）直线与圆的位置关系三种位置及判定与性质：相离、相切、相交切线的性质（重点）切线的判定定理（重点）圆的切线的判定方法切线长定理圆与圆的位置关系五种位置关系及判定与性质（重点：相切）外离、外切、相交、内切、内含相切（交）两圆连心线的性质定理两圆的公切线：定义和性质与圆有关的比例线段相交弦定理切割线定理正多边形与圆圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）三角形的外接圆、内切圆及性质圆的外切四边形、内接四边形的性质正多边形及计算：中心角、内角的一半等计算公式圆周长公式圆面积公式扇形面积公式弧长公式弓形面积的计算方法圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算点的轨迹六条基本轨迹作图作三角形的外接圆、内切圆平分已知弧作已知两线段的比例中项等分圆周：4、8；6、3等分基本图形与辅助线作半径见弦往往作弦心距见直径往往作直径上的圆周角切点圆心莫忘连两圆相切公切线（连心线）两圆相交公共弦

九年级上册数学《圆》知识点全解析 𐟓š 圆的基本性质定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“Q”，读作“圆Q”。弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”。半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。同心圆与等圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弧、弦、圆心角的关系圆心角定义：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等。圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90Ⱗš„圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。点和圆、直线与圆的位置关系点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP为d，则有：点P在圆外：d > r 点P在圆上：d = r 点P在圆内：d < r 符号“≌”读作“等价于”，它表示从符号“≌”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。圆的确定条件不在同一直线上的三点确定一个圆。三角形的外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。概念说明： “接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。反证法是一种间接证明命题的方法。用反证法证明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。直线和圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系。切线的判定定理和性质定理切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线。切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直。切线长及切线长定理圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量。 𐟓– 掌握这些知识点，你将能够更好地理解和解决与圆相关的数学问题。加油，数学小达人！

高考数学提升笔记：对称与球体公式 ### 对称与点线对称 𐟧튊第一页的内容主要关于对称和点线对称。这些知识点在选择题和填空题中经常出现。如果你追求做题速度，可以记住当x+y=m时，对称点的位置。难点在于外心、垂心和重心的三点共线，以及外心到重心的距离与重心到垂心的距离之比为1:2。推导方法可以参考建坐标轴，用向量来证明。参数方程与直径方程 𐟓 第二页主要记参数方程，这在难题中非常有用，会让题目变得简单一些。而直径方程则可以根据需要选择是否记忆。最下面切线长的题型一定要掌握。外接球与内接球 𐟌 第三页主要记录外接球和内接球半径与正方体的关系。这个知识点在题目中经常出现，掌握好可以大大提高做题效率。刷题与高考卷 𐟓š 最后，我想讲一下题目。高三复习的书里有很多高考题，但做了高考题之后，还有必要做高考卷吗？做题时，会感觉题目不是特别难，和平常做的题差不多。但当你做高考卷时，一道简单的题在15题中，你可能会没有时间想，潜意识里把难度拔高了。所以，卷子和题是不一样的。建议大家最好去刷高考卷，一个是把握整体节奏，给每道题思考的时间，另一个是高考题可以体现高考知识点的侧重，掌握一点规律。希望这些笔记能帮助你在高考数学中取得好成绩！𐟓ˆ

𐟓š初三数学全知识点思维导图𐟒ኰŸŽ“九年级的数学旅程，让我们一起用思维导图来梳理整体框架吧！𐟓– 𐟔第一至第四章，我们探索了方程、函数和不等式的基础知识。从一元二次方程到二次函数，再到不等式与实数，每一个章节都构成了数学世界的重要基石。𐟓˜ 𐟎觬줺”章开始，我们进入了图形的世界。从旋转到圆，每一个图形都有其独特的性质和定理。比如，圆的性质定理和切线长定理，都是解题的关键。𐟓 𐟎𒧬쥅� 和第七章，我们学习了概率和统计的基础知识。通过大量重复试验，我们可以估计随机事件发生的概率，这是数学与现实生活的重要连接。𐟎𐟧쥅맫 和第九章，我们深入探索了反比例函数和相似三角形的性质。这些知识点在解决实际问题时有着广泛的应用。比如，在测量高度和宽度时，我们就可以利用相似三角形的性质来计算。𐟓 𐟔짬쥍章和第十一章，我们学习了锐角三角函数和投影与视图的知识。这些知识点在解决几何问题时有着不可或缺的作用。通过计算器的帮助，我们可以更精确地求解锐角三角函数值。𐟓ኊ𐟎‰最后，在第十二章中，我们总结了整个九年级的数学知识。通过思维导图的方式，我们可以更好地理解和记忆这些知识点。让我们一起为九年级的数学之旅画上完美的句号吧！𐟌Ÿ

𐟓š 九年级上册圆的知识点全解析 𐟔 圆的切线与切点：经过圆心作圆的切线，垂线经过切点；反之，经过切点作切线的垂线也经过圆心。 𐟓 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 𐟔„ 圆和圆的位置关系：无公共点：外离（d > R + r）有唯一公共点：外切（d = R + r）有2个公共点：相交（R - r < d < R + r）有唯一公共点：内切（d = R - r）无公共点：内含（d < R - r） 𐟌ˆ 三角形的外接圆与内切圆：内心：三角形内心是三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。外心：三角形外心是三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。重心：三角形重心是三边中线的交点，在三角形内部。 𐟓Š 垂径定理：在直角三角形中，如果一条直角边是圆的直径，那么这条直角边所对的角是直角。 𐟔 弧、弦、圆心角、圆周角的关系：弧长公式：弧长 = 半径㗠圆心角（度数）。弦长公式：弦长 = 2 㗠半径㗠sin(圆心角/2)。圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。 𐟓ˆ 圆的计算：阴影部分的面积计算，需要综合运用各知识求解。利用勾股定理、相似三角形等知识求解与圆相关的计算问题。 𐟎𛃤𙠩☨磦ž：证明直线DE是圆的切线。求图中阴影部分的面积。证明三角形内心、外心、重心的性质。利用垂径定理解决实际问题。利用弧长公式、弦长公式计算圆的周长和面积。

初三数学知识点（三）：圆的部分 ### 圆的基本性质 𐟌• 圆的定义：圆是由在同一平面内，到定点距离等于定长的所有点组成的集合。弦、直径：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦。弧、等弧、优弧、劣弧、半圆：这些都是根据弧的长度来定义的。弦心距：从圆心到弦的垂线段的长度。等圆、同圆、同心圆：这些是根据圆的大小和位置来区分的。 “三点定圆”定理：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。垂径定理及其推论：垂径定理是说，从圆心到弦的垂线段的长度等于弦的一半。 “等对等”定理及其推论：如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。与圆有关的角 𐟌 圆心角定义：等于所对的弧的度数。圆周角定义：等于所对的弧的一半。弦切角定义：弦切角等于所对的弧的一半。直线和圆的位置关系 𐟚— 三种位置及判定与性质：相离、相切、相交。切线的性质：切线垂直于半径，且过切点。切线的判定定理：通过已知条件判定切线。切线长定理：切线长等于半径加半径。圆换圆的位置关系 𐟌€ 五种位置关系及判定与性质：外离、外切、相交、内切、内含。相切（交）两圆连心线的性质定理：连心线垂直于两圆的公共弦。两圆的公切线：定义和性质。与圆有关的比例线段 𐟓 相交弦定理：相交弦的比例等于它们所对的弧的比例。切割线定理：切割线的比例等于它所对的弧的比例。与正多边形 𐟐 圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）。三角形的外接圆、内切圆及性质。圆的外切四边形、内接四边形的性质。正多边形及计算：中心角、内角的一半等。一组计算公式 𐟓 圆周长公式：C = 2。圆面积公式：S = ⲣ€‚ 扇形面积公式：S = (360) 㗠ⲯ𜌥…𖤸편是扇形的中心角。弧长公式：L = 㗠r，其中˜良秚„角度。弓形面积的计算方法：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积。圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算：圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。点的轨迹 𐟌ˆ 六条基本轨迹：抛物线、双曲线、椭圆、圆的轨迹等。有关作图 𐟖Œ️ 作三角形的外接圆、内切圆。平分已知弧。作已知两线段的比例中项。等分圆周：4、8;6、3等分。基本图形 𐟓œ 重要辅助线 𐟛 ️ 作半径。见弦往往作弦心距。见直径往往作直径上的圆周角。切点圆心莫忘连。两圆相切公切线（连心线）。两圆相交公共弦。

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