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线段的和与差权威发布_求两线段差的最大值问题(2024年12月精准访谈)

内容来源：天津万源聚所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

线段的和与差

四边形对角互补的证明与计算 𐟓–【知识要点】对角互补四边形邻边相等四边形角平分线与对角互补线段和差与对角互补 𐟔【引例】如图，△ABC为等边三角形，D为AABC外一点，BDC=120Ⱟ𜌦𑂨𜚯𜈱）ZADB=ZADC=60ⰻ（2）BD+CD=AD. 𐟔【典例分析】【例1】如图，△ABC和AADE中，AB=AC，AD=DE，点D在边BC上，ZBAC=ZADE=120Ⱟ𜌦𑂂CE的度数. 【例2】如图，已知等腰AABC中，AB=AC，BAC=120Ⱟ𜌁DIBC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=PC，求LAPO+LBCO的度数. 【例3】如图，AABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边AACE,BE分别与AD、AC交于点F、G,连结CF. 求证:LFBD=ZFCD; 若AF=3,DF=1,求EF的值. 【例4】如图,在AABC中,B=60Ⱜ点D、E分别在边BC、AB上,BD=BE,AE=BC,连接AD、DE. 求证:AD=AC; 若点F是DE延长线上一点，FAC=60Ⱟ𜌨🞦Ž僆，求证：ACF=LADF. 【例5】如图，△ABC中,LABC=ACB=30Ⱟ𜌧‚𙏤𘺂C中点，点D是线段BC上一动点，DE⊥AB,DFIAC,垂足分别为E、F,连EF、EO,求证:EF=EO. 𐟔【巩固练习】【01】如图，等腰△ABC中，AB=AC.若点D为△ABC外一点，LABC=𜌤𘔚ADC+ZABC=180Ⱜ求BDC的度数(用含š„式子表示). 【02】如图1，△ABC为等腰直角三角形，AABD为等边三角形，连接CD. 求LACD的度数; 作LBAC的平分线交CD于点E,求证：DE=AE+CE; 在图2的条件下，M为线段BC右侧一点，满足CMB=60，求证：EM平分CMB. 【03】如图1,△ABC为等边三角形，延长BC到点D,延长BA到点E,AE=BD,连接CE,DE. 求证:EC=ED; EOLCD于点O，点N在EO上，△DNM为等边A，CM交EO于点F，若FO=1，求FM-FN的值. 【04】如图1,已知等边三角形ABC,点P为AB的中点,点D、E分别为边AC、BC上的点，LAPD+LBPE=60Ⱞ 若PDLAC,PELBC,直接写出PD、PE的数量关系; 证明：AP=AD+BE; 点F、H分别在线段BC、AC上，连接线段PH、PF,若PDIPF且PD=PF，HP⊥EP. 求LFHP的度数; 连接DE,直接写出PH+DE的值.

𐟓š数学七上第二章大解析𐟓– 𐟔探索数学七年级上册的第二章，我们一起揭开它的神秘面纱！𐟎‰ 𐟓Œ本章节主要涉及角的比较与运算，包括角的大小比较、互余与互补的概念，以及角的和与差的计算。𐟧𐟓Œ我们还会学习到线段的基本性质，如线段的和与差，以及如何通过测量和比较来得出结论。𐟓 𐟓Œ此外，本章还会介绍平面图形的旋转，让我们能够更深入地理解图形的变换。𐟎芊𐟓Œ别忘了还有对角的度量和线段的比较，这些都是学习数学的重要基础！𐟓 𐟔奿릝夸€起挑战这一章的难题吧！你准备好了吗？𐟚€

𐟓š 圆的十大定理与模型解析 𐟓 𐟔 圆的十大定理，是中考数学中的重点知识，掌握这些定理可以帮助你更好地理解和解决圆的相关问题。以下是圆的十大定理与模型的详细解析： 1️⃣ 弦切角定理与切割线定理弦切角定理：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角。切割线定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点到圆心的距离等于半径。 2️⃣ 中点弧模型点P是优弧AB上一动点，则PC=PB，PC=PA。 3️⃣ 内心模型与等腰外接圆+内心→得等腰三角形。 4️⃣ 线段和差问题利用中点弧与旋转模型，可以求出圆中三条线段之间的数量关系。 5️⃣ 托密勒定理 ADⷂC+ABⷄC=ACⷂD。 6️⃣ 阿基米德折弦定理已知M为AC的中点，B为AM上任意一点，且MD垂直于BC于D，则AB+BD=DC。 7️⃣ 平行弦与相交弦平行弦：圆的两条平行弦所对的孤相等。相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 8️⃣ 割线定理割线PD、PC相交于点P，则PA-PD=PB-PC。 9️⃣ 垂径图弧中点与垂径图：AD平分CAB，D是CB的中点，DOILCB，CE=EB。垂径+相等的三段弧：AB是OO的直径，C是D的中点，弦CELAB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。证CO/BD，AD=CE，P是线段AQ的中点，CPⷃE=AHⷁB=CQⷃB。 𐟔Ÿ 等腰图直径在腰上：BD=CD=ED，DFAC，F是EC中点，DF是切线。圆心在三线上：AB是直径，AB=AC，则有BD=CD,AB=AC,OD=-CE，ADIBC,CEBC,ADICE，LABO=LOAB=LOAC=LOCA=LACE，LAON=LABD=LACD，AAOB丝AAOC，AAONAABDAACD。 𐟓 通过掌握这些定理和模型，你可以更好地理解和解决圆的各类问题，为中考数学取得好成绩打下坚实的基础。

浙教版七年级数学新教材来啦！𐟓š 作为一名即将迎来七年级的数学老师，我真是等得心急火燎啊！新教材终于来了，但还没开始备课，心里有点忐忑。不过，先来看看目录吧，心里有个底。目录概览 𐟓– 新教材依旧分为六章：有理数：从自然数到有理数，数轴、绝对值、大小比较，23页小结与反思，26页目标与评定。有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、混合运算、近似数，73页小结与反思，75页目标与评定。实数：平方根、立方根、从有理数到实数、实数的运算，95页小结与反思，98页目标与评定。代数式：列代数式、代数式的值、整式、合并同类项、整式的加减，123页小结与反思，125页目标与评定。一元一次方程：认识方程、等式的基本性质、一元一次方程和它的解、解法，158页小结与反思，160页目标与评定。图形的初步知识：几何图形、线段、射线、直线、线段的长短比较、线段的和差、角与角的度量、角的大小比较、角的和差、余角和补角，193页小结与反思，195页目标与评定。具体内容 𐟓š 有理数：从自然数到有理数，介绍中国古代在数的发展方面的成就。数轴、绝对值、大小比较这些基础概念都有详细的讲解。有理数的运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、混合运算、近似数，每一部分都有清晰的解题步骤和详细的解释。实数：平方根、立方根、从有理数到实数、实数的运算，内容丰富，帮助学生们更好地理解实数的概念和运算。代数式：列代数式、代数式的值、整式、合并同类项、整式的加减，每一部分都有详细的解题方法和技巧。一元一次方程：认识方程、等式的基本性质、一元一次方程和它的解、解法，内容系统全面，帮助学生们掌握一元一次方程的解法。图形的初步知识：几何图形、线段、射线、直线、线段的长短比较、线段的和差、角与角的度量、角的大小比较、角的和差、余角和补角，内容丰富，帮助学生们更好地理解几何概念。总的来说，新教材内容丰富，结构清晰，真的是为学生们量身定做的。接下来就是备课时间了，希望能顺利地教好这些内容，让学生们学有所获！𐟒ꀀ

小学数学八大必考题型及答题技巧小学数学的八大类型题目，包括45道习题的详细解答模板，总结如下：年龄问题𐟑𔊥𙴩𞄩—˜的变化关系有三个基本规律：两人年龄的倍数关系是变化的量。每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量。两个人之间的年龄差不变。解题要点：从表示年龄间倍数关系的条件入手，理解数量关系。抓住“年龄差”不变的关键。应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式进行解答。注意求过去、现在、将来的陷阱。和差问题𐟓 和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式，有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。解决方法：画线段图来分析。公式：(两数的和+两数的差)㷲=较大的数，较大的数-两数的差=较小的数。盈亏问题𐟒𜊧›ˆ亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况：分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”。可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)+两次分得之差=人数或单位数。物品数可由其中一种分法和人数求出。也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”。周期问题𐟔„ 周期问题是关于周期性变化的问题，需要找出规律并应用。植树问题𐟌𓊦䍦 ‘问题是关于植树的数量和位置的问题，需要理解并应用植树的规律。鸡兔同笼𐟐”𐟐𐊩𘡥…”同笼问题是关于鸡和兔的数量和特征的问题，需要通过假设法和方程法来解决。差倍问题𐟔„ 差倍问题是关于两个数的倍数关系的问题，需要找出倍数关系并应用。和倍问题𐟔„ 和倍问题是关于两个数的和与倍数关系的问题，需要找出倍数关系并应用。找规律𐟔 找规律问题是关于找出数列或图形中的规律的问题，需要通过观察和推理来解决。小学数学公式大全𐟓š 小学数学公式大全涵盖了各种数学公式和定理，是解答数学问题的必备工具。通过这些答题模板和习题，帮助学生更好地掌握数学知识和解题技巧，提高数学成绩。

𐟎“数学说题比赛中的惊艳之作𐟎‰ 在数学说题比赛中，有一份说题稿令人眼前一亮，展现了选手深厚的数学素养和卓越的解题能力。 𐟓–题目涉及知识点：角平分线的性质线段的垂直平分判定定理等腰三角形的判定定理等边三角形的性质定理直角三角形的性质 𐟎謁˜目立意：本题旨在考查学生的基础知识、基本技能和数学思想方法，提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识分析和解决问题的能力。 𐟔解法分析：通过分析题目，利用等腰三角形性质和角平分线性质，构建全等三角形，解决线段和差关系及周长问题。 𐟒᥏˜式与拓展：题目在原有基础上进行了拓展，增加了DMN=60Ⱗš„条件，探究BM、NC、MN之间的数量关系及AAMN的周长与等边AABC的周长关系。 𐟓小结：本题的重点是利用等腰三角形性质、判定定理和角平分线性质求解。难点在于如何构建全等三角形，常采用角平分线作垂直、翻折的方法。 𐟌Ÿ数学思想方法：建模思想化归思想函数思想 𐟎‰感悟与反思：通过本题教学，提示我们在平时的教学实践中，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“触类旁通”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创造性思维和数学素质，都将起作积极的推动作用。

𐟓线段双中点模型全解析𐟓 𐟔探索七年级的线段双中点几何模型，一起揭开它的神秘面纱吧！𐟎‰ 𐟓Œ模型解密： - 已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，则MN=AB。𐟓 - 若点C在线段AB延长线上，同样有MN=AB。𐟓 - 无论线段之间的和差关系如何变，MN的长度只与AB有关。𐟒ኊ𐟓典例精讲： 1️⃣已知线段AB=5cm，在线段AB上任取一点C，求线段EF的长度。 - 分析：先画出图形，再根据线段中点的定义可得CE=AC, CF=BC，最后根据EF=CE+CF即可得出结果。 2️⃣若AB=6cm，求MN的长度。 - 分析：利用中点的性质直接得出BM的长，再计算出BD，最后根据线段之间的和差关系进行求解。 𐟚€拓展应用： - 已知C是线段BA延长线上一点，点M、N分别是AC、BC的中点，则NN=AB。𐟓 - 无论线段之间的和差关系如何变，NN的长度只与AB有关。𐟒ኊ𐟎‰通过这些例子，我们可以更深入地理解线段双中点模型，并灵活应用于实际计算中。快来试试吧！𐟌Ÿ

七上数学月考压轴题必备攻略，冲刺满分！孩子的数学成绩总是在105分左右徘徊？尤其是最后的拓展压轴题总是做不出来？别担心，这其实是很正常的情况，因为这些内容通常不在课本里，需要额外的拓展学习。为了帮助孩子们在月考、期中期末考试中取得满分，我整理了8大绝对值难题和6大动点问题题型。这些题型在七上的月考中大概率会出现，期中期末考试也会继续考察。建议想要冲刺满分的同学们重点学习这些内容。绝对值难题：8大题型助你突破绝对值的性质：这是绝对值的基础知识，理解起来并不难。 a/|a|问题：这类题目要求你根据绝对值的性质来解决问题。绝对值与零点分段法：通过零点分段法来解绝对值方程。绝对值的最值问题：找出绝对值函数的最值。绝对值与方程、不等式的结合：将绝对值与方程或不等式结合起来解决问题。解绝对值方程：这类题目要求你解出绝对值方程的解。绝对值与数轴上两点间距离：利用数轴上的距离关系来解绝对值问题。动点问题：6大题型让你轻松应对数轴折叠问题：通过数轴折叠来找出动点的位置。行程问题：解决与行程相关的动点问题。和差倍问题：通过和差倍的关系来找出动点的位置。定值问题：找出动点问题的定值。折返问题：解决与折返相关的动点问题。动线段问题：通过动线段的关系来找出动点的位置。以上内容我都整理到了七上数学月考压轴题专项练习里，并有配套答案。建议基础扎实、想要冲刺满分的同学们在考前重点练习这些内容。七上数学｜初一数学｜绝对值｜动点问题｜月考

𐟎“初二几何辅助线添加秘籍𐟓 𐟔 三角形中的辅助线添加：角平分线：若图中有角平分线，可向两边作垂线。对称法：将图对折，观察对称后的关系。等腰三角形：利用角平分线平行线来添加。三线合一：尝试角平分线加垂线，三线合一的尝试。线段垂直平分线：常向两端连接。线段和差及倍半：延长或缩短线段进行试验。不等式移动：将线段和差不等式移到同一三角形中。中位线：连接三角形中的两中点，形成中位线。中线延长：延长三角形中的中线，形成等中线。 𐟔 四边形中的辅助线添加：平行四边形：找出对称中心和等分点。梯形转换：将梯形问题巧妙转换为三角形和四边形。平移腰：移动对角，两腰延长作出高。中位线：若出现腰中点，细心连接中位线。全等构造：上述方法不奏效时，通过腰中点构造全等。相似证明：比线段，添线平行成习惯。比例换算：寻找线段关键，进行比例换算。等量代换：直接证明有困难时，采用等量代换。斜边高线：在斜边上作高线，寻找比例中项。 𐟔 圆形中的辅助线添加：半径与弦长计算：利用弦心距进行计算。切线连接：切点、圆心、半径连接。切线长度：利用勾股定理进行计算。切线证明：半径垂线仔细辨别。直径与半圆：想成直角径连弦。垂径定理：弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角：边两条弦，直径和弦端点连。弦切角：边切线弦，同弧对角等找完。外接圆：各边作出中垂线。内接圆：内角平分线梦圆。相交圆：不要忘作公共弦。公切线：内外相切的两圆，经过切点公切线。连心线：添上连心线，切点肯定在上面。等角添加：要作等角添个圆，证明题目少困难。

𐟓š数学应用题攻略：差倍问题解题技巧 𐟔数学应用题总是让人头疼？特别是那些涉及差和倍数关系的问题？别担心，今天我们来讲解差倍问题的解题技巧，让你轻松应对这类题目！ 𐟓Œ差倍问题是什么？差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而求出一倍数，再求出其它的数。 𐟓解题步骤： 1️⃣ 找1份量，并用一段固定长度的线段表示出来； 2️⃣ 找多份量； 3️⃣ 找差； 4️⃣ 求1份量； 5️⃣ 求多份量。 𐟓基本公式：一倍量(小数)=两数差㷨倍数-1) 多倍量(大数)=一倍量(小数)㗥€数，或大数=小数+倍数差 𐟔“明差”型问题：这种问题的差是直接给出的。例如：李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 𐟔“暗差”型问题：这种问题的差是通过增加或减少相同数量后间接给出的。例如：有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根绳子的长度是第一根绳长的3倍，求这两根绳子原来有多少米长？ 𐟓解决“暗差”型问题的步骤： 1️⃣ 从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系； 2️⃣ 寻找题目中的现差或原差； 3️⃣ 将现差或原差通过画线段图的方法画出来； 4️⃣ 审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的思想。 𐟒ᦎŒ握这些技巧，差倍问题就能迎刃而解！快去试试吧！

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