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线段的垂直平分线新上映_线段的垂直平分线的性质教学设计(2024年12月抢先看)

内容来源：天津万源聚所属栏目：导读更新日期：2024-11-30

线段的垂直平分线

无刻度直尺作图的核心考点与技巧在武汉的中考中，无刻度直尺作图是一个非常重要的考点。以下是一些关键的方法和技巧，帮助你更好地掌握这个知识点。分割线段 𐟓 首先，我们可以通过分割线段来解决问题。例如，在给定的网格中，找到线段的某个点，使得这个点到线段两端的距离相等。这样，我们就可以通过作图来找出这个点。垂直处理 𐟓 垂直处理是另一个重要的技巧。我们可以通过旋转或整体旋转（90Ⱟ𜉦夺䦍⦨ꧺ𕥝标，从而找到垂直平分线的交点。例如，在给定的网格中，找到两个点的垂直平分线，然后利用这些线来构造等腰直角三角形。垂直平分线的处理策略 𐟔„ 对于垂直平分线的处理，我们可以通过取线段的中点来构造等腰直角三角形。然后，利用这个三角形的斜边上的中点来找到垂直平分线。例如，在给定的网格中，找到两个点的中点，然后作垂线。等线段的处理策略 𐟓 等线段的处理策略是通过构造线段的垂直平分线来找到等长的线段。例如，在给定的网格中，找到两个点的垂直平分线，然后利用这些线来构造等腰直角三角形。平移处理与整体平移 𐟛䯸平移处理和整体平移是两种重要的技巧。我们可以通过平移线段来找到新的点，或者通过整体平移来找到对称点。例如，在给定的网格中，找到两个点的对称点，然后利用这些点来构造新的图形。对称与最值 𐟓Š 最后，对称与最值是另一个重要的考点。我们可以通过构造对称轴来找到对称点，或者通过处理轴对称图形来找到最小值或最大值。例如，在给定的网格中，找到两个点的对称点，然后利用这些点来构造新的图形。通过这些方法和技巧，你可以更好地掌握无刻度直尺作图的核心考点，从而在中考中取得更好的成绩。

初中数学：两线翻转造全等，轻松搞定！初中数学几何题有时候确实让人头疼，尤其是辅助线的添加。其实，只要掌握了定理和概念，找准规律，一切都会变得简单。今天，我就来分享一个超级实用的几何辅助线模型，教你如何在1秒钟内通过两线翻转造出全等三角形！𐟚€ 两线是什么？首先，我们要搞清楚什么是“两线”。这里指的是角平分线和线段的垂直平分线。角平分线：如果你看到题目中有“P为∠AOB平分线上的一点”，那么你可以过P点作PD垂直OA于点E，再作PE垂直OB于点E。根据垂直平分线的性质，PD和PE的长度是相等的。垂直平分线：如果题目中有“M为线段AB垂直平分线上的一点”，那么你可以连接AM和BM。根据垂直平分线的性质，AM和BM的长度是相等的。如何运用两线翻转造全等？垂线、分角线，翻转全等连。这句话是关键！角平分线：如果你看到题目中有“AD是∠BAC的平分线”，那么你可以马上过点D作角两边的垂线。这样，根据条件，你就能构造出三角形全等。垂直平分线：如果题目中有“D是BC的垂直平分线DH上一点”，那么你可以马上连接点D与线段BC的端点。这样，根据条件，你也能构造出三角形全等。实战演练例如，题目中给出“AD是∠BAC的平分线”，你可以立即过点D作角两边的垂线，然后根据这些条件构造出三角形全等。再比如，题目中给出“D是BC的垂直平分线DH上一点”，你可以连接点D与线段BC的端点，然后根据这些条件构造出三角形全等。小结通过这些简单的技巧，你可以轻松掌握两线翻转造全等的方法。只要多练习，多思考，初中数学几何题就不再是难题啦！𐟒ꊊ希望这个方法对你有帮助，祝你学习顺利！𐟓š

八年级数学：轴对称图形的奥秘 𐟔 1. 轴对称的定义 𐟓 当你把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能和另一个图形完全重合，那么这两个图形就是关于这条直线对称的。对称的点叫做对称点，对称的线段叫做对称线段。轴对称图形的特点 𐟌Ÿ 如果一个图形沿着一条直线折叠，两边能完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。轴对称的性质 𐟓œ 关于某条直线对称的两个图形是全等的。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。如果两个图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。线段垂直平分线的性质 𐟓 垂直平分一条线段的直线叫做这条线的垂直平分线。垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。角的平分线的性质 𐟓 把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。等腰三角形的性质与判定 𐟓 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线、底边上的高或顶角的平分线所在的直线都是它的对称轴。等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的两个底角相等，两腰上的高也相等，底边上的中点到两腰的距离也相等。判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。等边三角形的性质与判定 𐟓 等边三角形的三个角都相等，每个角都等于60Ⱓ€‚ 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。判定定理：有一个角是60Ⱗš„等腰三角形是等边三角形。

初中尺规作图全攻略，家长必看！ 𐟓˜ 尺规作图基础尺规作图是初中数学中的重要内容，通过基本的尺规操作，可以完成各种图形的绘制。以下是几个常见的尺规作图题目，帮助家长和学生更好地掌握这一技能。 𐟓 题目一：作已知线段的垂直平分线已知：线段MN 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）作法：分别以M、N为圆心，画大于MN/2的弧，弧相交于P、Q。连接PQ交MN于O。则点O就是所求作的MN的垂直平分线。 𐟓 题目二：作已知角的角平分线已知：角AOB 求作：射线OP，使LAOP=BOP（即OP平分AOB）作法：以O为圆心，画任意长度的弧，分别交OA、OB于M、N。分别以M、N为圆心，画大于MN/2的弧，两弧交于P。作射线OP。则射线OP就是AOB的角平分线。 𐟓 题目三：作一个角等于已知角已知：角AOB 求作：角A'O'B'，使A'O'B'=AOB 作法：作射线O'A'。以O'为圆心，画任意长度的弧，交OA于M，交OB于N。以O'为圆心，以OM的长为半径画弧，交O'A于M'。以M'为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N'。连接O'N'并延长到B'。则角A'O'B'就是所求作的角。 𐟓 题目四：经过直线上一点作已知直线的垂线已知：P是直线AB上一点求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB 作法：以P为圆心，画任意长度的弧，交AB于M、N。分别以M、N为圆心，画大于MN/2的弧，两弧交于Q。过D、Q作直线CD。则直线CD就是所求作的直线。 𐟓 题目五：经过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线AB及外一点P 求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB 作法：以P为圆心，画任意长度的弧，交AB于M、N。分别以M、N为圆心，画大于MN/2长度的一半为半径的弧，两弧交于Q。过P、Q作直线CD。则直线CD就是所求作的直线。 𐟓 题目六：记知三边作三角形已知：线段a, b, c 求作：三角形ABC，使AB=C, AC=b, BC=c 作法：作线段AB=C。以A为圆心，以b为半径作弧，以B为圆心，以a为半径作弧，两弧相交于C。连接AC, BC。则三角形ABC就是所求作的三角形。 𐟓 题目七：记知边及角作三角形已知：线段m, n, L 求作：三角形ABC，使A=a, AB=m, AC=n 作法：作A=Lai。在AB上截取AB=m, AC=n。连接BC。则三角形ABC就是所求作的三角形。 𐟓 题目八：知两角及边作三角形已知：角A1B, 线段m 求作：三角形ABC，使A=)B=, AB=m 作法：作线段AB=m。在AB的同旁作A=a, 作B=1。 A与LB的另一边相交于C。则三角形ABC就是所求作的图形（三角形）。

线段垂直平分线的性质与证明 𐟓 简单记录一下关于线段垂直平分线的内容。 𐟔 线段垂直平分线的定义：线段垂直平分线是垂直于线段并平分线段的直线。 𐟓– 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 𐟓 证明：在图1中，已知线段AB，点C在AB上，CD是AB的垂直平分线。要证明AC = BC。 𐟔 证明过程：由于CD是AB的垂直平分线，所以AC = BC（性质1）。根据性质2，AD = BD。因此，AD + DC = BD + DC，即AC = BC。 𐟓Œ 结论：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，这是一个重要的几何性质。 𐟔 示例：在图2中，已知线段AP，点C在AP上，CD是AP的垂直平分线。要证明AC = BP。 𐟓 证明过程：由于CD是AP的垂直平分线，所以AC = BP（性质1）。根据性质2，AD = PD。因此，AD + DC = PD + DC，即AC = BP。 𐟓Œ 结论：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，这一性质在几何证明和计算中非常有用。

无刻度直尺作图技巧大揭秘 𐟓 嘿，大家好！今天我们来聊聊一个超级有趣的话题——无刻度直尺作图。这些题目可是我从网上搜罗来的，特别适合八九年级的朋友们，特别是那些正在用人教版教材的同学。准备好了吗？让我们开始吧！利用三线合一及内心的性质作三角形的内角平分线 𐟧銩斥…ˆ，我们来看看如何利用三线合一和内心的性质来作三角形的内角平分线。这个方法真的很巧妙，完全不需要任何刻度。题目1：仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹。如图，BD是ABC的角平分线，现在我们要作ABC的内角ZBCA的角平分线CE。核心考点二：构造等腰直角三角形或正方形，作线段的垂直平分线 𐟓 接下来，我们来看看如何通过构造等腰直角三角形或正方形来作线段的垂直平分线。这个方法非常实用，特别是在没有刻度的情况下。题目2：如图，点A,B在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图。（1）将线段AB绕A逆时针旋转90Ⱕ𞗧𚿦C。（2）画AB的垂直平分线。课堂真题练习 𐟓 最后，我们来看看一些课堂上的真题练习，这些题目都非常有代表性，大家可以试着自己动手做一做。题目3：如图，在10㗱0的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，在图中画出BC边的垂直平分线。课后练习 𐟓– 趁热打铁，我们再来看看一些课后练习题，这些题目都非常有挑战性，大家可以试着自己动手做一做。题目4：如图，在14㗷的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫格点。线段ED和ABC的顶点都在格点上。（1）直接写出SBC的值。（2）请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）。 ①画出ABC的高BH。 ②在线段ED右侧找一点F，使得AABCAEFD。 ③在②的条件下，在线段ED上找一点G，使DFG=45Ⱓ€‚ 综合题 𐟧銦œ€后，我们来看看一些综合题，这些题目非常综合，需要大家综合运用之前学过的知识来解决。题目5：（2022武汉四调）在如图中，在BC边上画点H，使得AH+DH的值最小。希望这些题目能帮到大家！如果你们有任何问题或者想法，欢迎在评论区留言哦！祝大家学习愉快！𐟓š

尺规作图全攻略：轻松掌握各种方法 𐟓 尺规作图是几何学习中的基础技能，掌握这些方法可以让你在解决几何问题时更加得心应手。以下是几种基本的尺规作图方法，帮助你轻松上手： 𐟔 基本尺规作图方法：作一条等于已知线段的线段：作射线OP。在OP上截取OA=a，OA即为所求作的线段。作一个等于已知角的角：以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交a的两边于点P、Q。作射线OA。以O为圆心，OP长为半径作弧，交OA于点M。以点M为圆心，PO长为半径作弧，两弧交于点M。过点N作射线OB，OB即为所求作的角。作已知线段的垂直平分线：以0为圆心，任意长为半径作弧，分别交0A、0B于点N、M。分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P。作射线OP，OP即为所求作的角平分线。作已知角的角平分线：以点0为圆心，任意长为半径向点0两侧作弧，交直线于A、B两点。分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于M、N两点。过点M、N作直线MN，MN即为所求作的垂线。过一点作已知直线的垂线：在直线另一侧取点M。以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线于A、B两点。分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交M同侧于点N。过点P、N作直线PN，PN即为所求作的垂线。通过这些基本的尺规作图方法，你可以轻松解决各种几何问题，提升自己的几何素养。

初中数学：尺规作图全攻略！嘿，大家好！今天咱们来聊聊初中数学里的尺规作图，这可是个挺有意思的话题。别担心，我保证你看了之后，再也不用为这些作图题发愁了！作线段等于已知线段 𐟓 这个其实挺简单的。只要以某个点为圆心，画一个弧，然后让这个弧和已知线段的两边相交。再以这两个交点为圆心，画弧，两弧交于一点，连接这个点和圆心，就得到了等于已知线段的线段啦！作角等于已知角 𐟔„ 这个稍微复杂一点。首先，以一个交点为圆心，画两个弧，让这两个弧分别和已知角的两边相交。然后，分别以这两个交点为圆心，画弧，两弧交于一点。最后，通过这个点和圆心画射线，就得到了等于已知角的角啦！作一个角的平分线 𐟓 这个也不难。首先，以角的顶点为圆心，画一个弧，和角的两边相交。然后，分别以这两个交点为圆心，画弧，两弧交于一点。最后，通过这个点和圆心画射线，就得到了角的平分线啦！过一点作已知直线的垂线 ⊥ 这个也挺简单的。首先，以这个点为圆心，画一个弧，和已知直线相交。然后，分别以这两个交点为圆心，画弧，两弧交于一点。最后，通过这个点和圆心画直线，就得到了过一点的垂线啦！作一条线段的垂直平分线 𐟓 这个稍微复杂一点。首先，分别以线段的两端点为圆心，画弧，两弧交于两点。然后，连接这两点和线段的中点，就得到了线段的垂直平分线啦！作平行线 𐟓 这个也挺简单的。首先，在已知直线上任取一点，连接这点和直线外的一点。然后，延长这条线段到直线外的一点。最后，通过这两点和直线外的一点画直线，就得到了平行线啦！作等腰三角形 𐟔— 这个也不难。首先，已知三边作三角形。然后，分别以两边为半径画弧，两弧交于一点。最后，连接这三点和顶点，就得到了等腰三角形啦！作直角三角形 𐟓 这个稍微复杂一点。首先，已知一直角边和斜边作直角三角形。然后，以直角边为半径画弧，和垂直平分线相交于一点。最后，连接这一点和斜边的中点，就得到了直角三角形啦！过不在同一直线上的三点作三角形 𐟔— 这个也不难。首先，连接这三点形成三角形。然后作三角形的外接圆和内切圆。最后，连接外接圆的圆心和内切圆的圆心，就得到了过这三点的三角形啦！作圆的内接正方形和正六边形 𐟓 这个稍微复杂一点。首先，以任意一个顶点到圆心的距离为半径画弧交圆于两点。然后以这两点为圆心画弧交圆于另外两点。最后连接这四点就得到了正方形或正六边形啦！好了，今天的内容就到这里啦！希望这些小技巧能帮到你们解决数学问题。如果有任何疑问或者需要进一步的解释，欢迎在评论区留言哦！𐟘Š

八上数学轴对称全解析𐟓š 呼~终于搞定了！这个思维导图真是做了不想交啊𐟘‘ 轴对称图形𐟔 概念：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。对称轴𐟓 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说明这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴。线段的中垂线𐟓 概念：经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫做线段的中垂线。性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等。判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。轴对称的性质𐟓– 对应线段相等，对应角相等。对称轴是同一对对应点所连线段的垂直平分线。作法：作对应点所连线段的中垂线。画轴对称图形𐟎芤𘉨璥𝢯𜚤𘉨璥𝢤𘤦—的对称图形。坐标表示轴对称：两点关于轴对称的坐标特征。横坐标相同，纵坐标互为相反数。判定：关于轴对称的两点坐标特征。纵坐标相同，横坐标互为相反数。轴对称图形𐟔„ 相互关系：轴对称图形关于对称轴对称。判定：轴对称的两点坐标特征。画轴对称图形𐟖Œ️ 等边三角形：等边三角形的性质和判定。分线上：等边三角形的中垂线上的点到三角形三个顶点的距离相等。

𐟔 椭圆轨迹方程的求解之旅 𐟚€ 𐟓 定义法求椭圆轨迹方程定义法是求解椭圆轨迹方程的经典方法。通过定义动点的运动规律，我们可以推导出其轨迹方程。例如，已知动圆P过定点A(-3,0)，且在定圆B:(x-3)ⲫyⲽ100的内部与其相内切，那么动圆P的圆心轨迹方程可以通过定义法得出。 𐟓– 圆与圆的内切关系在平面直角坐标系中，已知圆C：(x+1)ⲫyⲽ25，动圆C与圆C和圆C均内切，求动圆圆心C的轨迹E的方程。通过分析圆与圆的内切关系，我们可以得出轨迹方程。 𐟓 垂直平分线与线段交点已知圆(x+1)ⲫyⲽ16的圆心为B，点A(1,0)，点C为圆上任意一点，求线段AC的垂直平分线与线段CB的交点P的轨迹方程。通过分析垂直平分线与线段的交点，我们可以得出轨迹方程。 𐟓 内切圆的性质在平面直角坐标系x0y中，已知点A(-1,0)，B(10)，设△ABC的内切圆与AC相切于点D，且ICD=1，求动点C的轨迹方程。通过利用内切圆的性质，我们可以得出轨迹方程。 𐟓‰ 斜率之积与轨迹方程已知A(-2,0)，B(2,0)，直线PA、PB的斜率之积为-1，求动点P的轨迹方程。通过分析斜率之积与轨迹方程的关系，我们可以得出轨迹方程。 𐟓– 以线段AB为直径的圆内切于圆O 已知圆O：xⲫyⲽ4，点B(0,1)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，求点A的集合记为曲线C的方程。通过分析以线段AB为直径的圆内切于圆O的性质，我们可以得出曲线C的方程。 𐟓 重心的轨迹方程在△ABC中，B(-12,0)，C(12,0)，AC、AB边上的两条中线之和为39，求△ABC的重心的轨迹方程。通过分析重心的轨迹方程，我们可以得出轨迹方程。

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