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不等式的解前沿信息_基本不等式公式四个公式(2024年12月实时热点)

内容来源：天津万源聚所属栏目：教程更新日期：2024-12-02

不等式的解

𐟌Ÿ耀华高中一月考数学解析𐟌Ÿ 1. 𐟓š 第10题：这道题看似是九年级的内容，但需要识别不等式的变形。将常数1移到不等号右侧，左侧就变成了抛物线的交点式。与x轴的交点就是a和b，函数值小于-1的部分记为（x1，x2）。通过图像可以清晰地看出四个量的大小关系。 𐟔 第11题：这道题是之前白本上的一道原题，讲过含参二次不等式的解集推测。第二个不等式的两个根不知道谁大谁小，我们通过数轴分析，每种情况下都可以找出唯一的整数解，再根据限制条件写出k的范围。 𐟌𑠧쬱2题：这道题也是解集推测，背景是一个高次不等式的解集推测问题。需要使用穿轴法求解不等式。我们先画出该三次不等式的图像，然后根据题目要求，说明大于0的两个零点其实是重合的，由此可以求出a和b的关系式，最后消元用a表示b，得到一个均值不等式的形式。 𐟏ž️ 第20题：这道题是含参二不等式解集推测问题。原不等式可解，且两个根的大小可以直接判断。开口向上，可以推测出a的粗略范围（0,4）。根据这个范围，将大根范围确定在-1/2到-1/4之间，就能看出原不等式要求的三个整数解必为-1，-2，-3，也就是说左侧小根范围在[-4，-3）之间，由此可求出最后a的范围。 𐟓š 大部分学校已经完成了今年的期中考试，从已经考完的试卷上看，难度普遍比之前要大，大家还是面对着很大的挑战。这两天降温，有的地区更是下起了大雪，除了能堆雪人，更值得关心的是如何在寒冷的天气中保持学习状态。尤其是高一的学生们，有时候我真的是着急，高二高三的学生已经大概对高考和高中的学习节奏有了个了解，但高一有很多人根本就认不清现实，就怕等到你想学的时候也会有心无力。有惰性是避免不了的，但为了以后也要适当的努力啊。

初中数学数轴表示不等式解集的教学反思教材内容如图所示，主要涉及简单不等式的解法和数轴表示法。解不等式的过程就不多赘述了，主要是运用化归和类比思想。重点讲一下数轴表示法。教材上讲到，不等式的解集可以在数轴上表示，简洁明了。但实际教学中，如果只按照教材讲解，学生可能无法理解其中的数形结合思想。因此，我设置了一系列问题来引导学生：不等式的解集是什么？答：不等式的解集是所有解的集合。不等式的解有多少个？答：无数个。这些解之间有什么关系？比如x＜3的解。答：这些解是一些连续的实数。无数的连续实数在哪里见过？答：数轴上的点与实数一一对应，用直线的连续性来体现实数。不等式的解集能在数轴上表示出来吗？是哪一段？（请学生上台指，学生基本上用手指出了数轴上的一条射线）如果不用手指，怎么让别人看出是哪一段？有学生提出用波浪线，但有人质疑波浪线不是直线的一部分，不妥当。又有人提出加粗，但也遭到反驳，认为在解题时不切实际。接着，我让学生翻开教材，看看教材是如何表示的，并思考这样表示的原因。教材上的表示方法是：数轴上的解集实际上是数轴上的某一段，可能是线段，可能是射线，而且有可能包含端点，有可能不包含端点。但在数轴上直接进行标记不够美观直接，所以教材使用了一条与要突出的数轴上的那部分平行的线来表示。为了突出端点，选择先在端点处作垂线，并且利用实心和空心来区分是否取到端点。通过这一系列问题，学生能够更好地理解数轴上不等式的解集表示方法，体会到数形结合的思想，同时感受到教材的严谨性和合理性。希望学生能够感受到数学的合理性，从心理上认可，才能按要求去做题。

高中数学必修一二知识点大揭秘 𐟌Ÿ 高一第一学期的数学学习即将结束，想要在必修一上取得好成绩其实并不难。只要你掌握了以下知识点，轻松达到120分不是梦：子集、真子集、补集、充分性、必要性、全称量词、存在量词、德摩根定律、容斥原理、解一元二次不等式、解分式不等式、解绝对值不等式、解高次不等式、基本不等式配凑、恒成立问题、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、幂函数、复合函数、抽象函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数、正切函数。接下来，让我们提前了解一下必修二的知识结构吧！𐟓š

二次函数与一元二次方程：你了解多少？嘿，大家好！今天咱们来聊聊九年级数学中的两个重要概念——二次函数和一元二次方程。这两个东西可是密切相关的，学起来其实挺有趣的。首先，二次函数其实就像是一次函数的升级版。一次函数是直线，而二次函数则是曲线，它的图像更加优美。想象一下，从直线到曲线的过渡，是不是感觉数学变得更加生动了呢？接下来，一元二次方程和二次函数的关系就更密切了。一元二次方程就像是二次函数的“灵魂”，两者密不可分。解一元二次方程其实就是为了找出二次函数的顶点，或者说是找出函数图像的关键点。最后，不等式在这个体系中也有重要的作用。它可以帮助我们确定二次函数图像的“领土”范围。也就是说，通过解不等式，我们可以知道函数图像在什么区间内变化。总的来说，学习二次函数和一元二次方程的时候，记得把它们联系起来，这样理解起来会更容易哦！数学不再是难题，跟着老师的板书走，一起探索更多数学的奥秘吧！𐟘‰

线段比例最值题第四十八回，题型与上回相近，分享一题多解。本回要说道的这题题型与上回分享的题型相近，因此上回的解题“套路”也同样适用于解本题。即假定某些点及所连线段固定，再根据题意确定其它点的位置或移动轨迹，从而求得答案。法一、法二分别假设AB、BC为固定线段，那么本题就变成了单线段最值题型，法一只需确定C的运动轨迹求出BC的最值，法二需确定点A的轨迹求出AB的最值，即可得BC/AB的最值。法三假设AC固定，就是一道直线上一动点到两固定点的线段比例最值题，可用转换法、代数法及托勒密不等式等方法解决。本回选择采用托勒密不等式来解。本回与上回相比增加了法四方法，假设BD固定，A、C为动点，利用代数法，求出比例最值。最后附上一道线段比例最值题，解决起来有一定难度，感兴趣的学友可以尝试。欲知解法如何，且听下回分解。注：本回的题目及“法三”均引用自@善数堂的2024-1-13的百度动态，在此表示感谢！ #教育创作激励计划# #轻知计划#

𐟔 万能k法：数学解题的利器与误区万能k法，也被称为判别式法，但实际上它只在特定类型的问题中适用。以下是关于万能k法的进一步应用和注意事项。 𐟓Œ 判别式不等式当题目给定关于x和y的二次式，并要求另一个代数式的值时，可以直接令所求式子等于k，然后用x表示y，代入已知条件，得到一个关于x的一元二次方程。利用判别式大于等于0，可以得到一个关于k的不等式，解出k的范围即可。这种方法被称为判别式法，也俗称万能k法。 𐟓Œ 应用范围万能k法适用于k法后能化成一元二次方程的不等式题型。原理是利用一元二次方程有实数根时A≥0。步骤包括：问谁设谁：求谁，谁就是k，并找出变量具体范围；代入整理：整理成某个变量的一元二次方程；确认最值：方程有实数根时A≥0，解出最值并把k代入方程验证。 𐟓Œ 注意事项虽然万能k法在某些情况下非常有用，但它并非万能。上述做法默认的是二次函数在R上有零点从而A≥0，但实际函数里的变量范围不一定是R。如果直接用A≥0计算答案，可能会导致错误。 𐟓Œ 例题分析已知正实数x和y满足等式x+y+8=xy，求x+y的最小值。解：令x+y=k，所以x=k-y，代入等式得k-y+y+8=(k-)y，整理得yⲭky+k+8=0。此时A=kⲭ4(k+8)≥0，即kⲭ4k-32≥0，解得k≤-4或k≥8。因为x>0,y>0，所以x+y=k≥8，即x+y的最小值为8。已知a+b+c=0，aⲫbⲫcⲽ4，求a的最大值。解：令a=k，所以b=-k-c，代入等式得kⲫ(-k-c)ⲫcⲽ4，整理得cⲂ𒫫c+kⲭ2=0。此时A=kⲭ4(kⲭ2)≥0，即KⲢ‰䥏𗣀解得k≤等。所以a的最大值为s学。已知2mⲫ3nⲽ6n，求mⲫnⲧš„最大值。解：令mⲫnⲽk，所以mⲽk-nⲯ𜌤𛣥…姭‰式得2(k-n)+3nⲽ6n，整理得nⲂ𒭶n+2k=0。此时A=36-8kⲰ，即k≤号。所以mⲫnⲽk≤号、即m+n的最大值为s号。原因：2mⲽ6n-3nⲢ‰尯𜌦‰€以nE[0,2]，变量有限制，所以相当于二次函数在某个区间上有零点，那么如果直接用A≥0计算的答案就有可能出错。（本题正确结果是4） 𐟓Œ 万能k法的本质万能k法并不是完全就是判别式法。在判别式法专题中，因为碰到的条件是二次的，所以错觉是万能k法就是判别式法。万能k法本质是把二元问题假设为k，然后代入条件进行消元处理：若碰到的条件是二次的，我们在求最值时就是利用判别式来处理，此时等价于判别式法；若碰到的条件是三次的，我们在求最值时就要利用导数等工具了，此时判别式失效。 𐟓Œ 示例题目已知实数a>0,b>0,且ab(a+8b)=4,则a+4b的最小值为解1:万能k法令a+4b=k>0,得a=k-4b 由ab(a+8b)=4,得16bⳭkb+4=0. 设f(b)=16bⳭ2b+4,b>0, 则(b)=48=k,令f(b)=0,得b=b=(含), 当b<时，f()<0,故f(6)在(,)上减; 当b>时,f()>0,

高中数学函数单调性12大题型题型01定义法判断或证明函数单调性题型02求函数单调区间题型03复合函数单调区间题型04根据函数的单调性求参数题型05根据函数的单调性解不等式题型06根据单调性（图象）求最值或值域题型07根据函数的最值（值域）求参数题型08二次函数最值问题（含参）题型09函数不等式恒成立问题题型10函数不等式有解问题题型11重点方法（分类讨论）题型12数学思想方法（数形结合）

穿根法解不等式：简单又高效的方法穿根法在高中数学中解不等式真的是太方便了！通过画出大致的函数图像，可以轻松了解函数的单调性等情况。 𐟓Œ 穿根法的关键步骤：奇穿偶不穿：奇数次幂的项从右上角开始穿，偶数次幂的项则不穿。系数为正：如果系数为正，从右上角开始穿。系数为负：如果系数为负，从右下角开始穿。次数为偶不过：对于次数为偶数的项，不过顶点。次数为奇不过：对于次数为奇数的项，不过顶点。 𐟓Œ 示例：解不等式 (-1)(x^2)(3x) < 0 系数为负，从右下角开始穿。 x^2 的次数为偶数，不过顶点。 3x 的次数为奇数，不过顶点。最终解集为 (-1, 0) ∪ (0, ∞) 通过穿根法，可以轻松找出不等式的解集，省去了复杂的计算步骤。这种方法不仅适用于一次函数，还适用于二次函数、三次函数等更复杂的情况。

高中函数好资料好课程 ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值．题型01定义法判断或证明函数单调性题型02求函数单调区间题型03复合函数单调区间题型04根据函数的单调性求参数题型05根据函数的单调性解不等式题型06根据单调性（图象）求最值或值域题型07根据函数的最值（值域）求参数题型08二次函数最值问题（含参）题型09函数不等式恒成立问题题型10函数不等式有解问题题型11重点方法（分类讨论）题型12数学思想方法（数形结合）

上海中考自招数学华二卷分析 ### 试卷总结与分析 𐟓Š 高中知识点分析 𐟎“ 从涉及的重要高中知识点来看，华二卷并没有明显针对特定学校（例如上中，明显针对不等式）。本卷中考到的知识点包括解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等，但都非常浅显，初中知识足以应对。初高衔接知识点分析 𐟌 高中知识中，代数与几何的比重差异巨大，代数约占95%，几何约占5%。如果想打好初高衔接的基础，建议把精力全部放在代数上，特别是以下三个方面：代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）解方程二次函数的图像与性质这些在本试卷中体现得非常明显，也说明了参加华二卷的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢打好基础即可。考到的初高衔接知识题目如第一、1、3、9、12、17、20、23题等，全部都在考察“解方程”、“代数式变换”和“二次函数性质”。这也与高中数学以代数为主相契合。因此，华二卷的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势。初中知识点分析 𐟏늊初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，主要考察了基本的知识与应用，如第2、5、6题（本题难度较大，来源是2014年美国数学竞赛十二年级试题）、第15题、第二16、19题和第22题。数论知识考察也较少，如第4、12题。建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。

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