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等比级数求和权威发布_1/n(n+1)求和公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：天津万源聚所属栏目：观点更新日期：2024-12-01

等比级数求和

工程经济学公式大全：轻松掌握关键公式 𐟓š 工程经济学公式总结，助你轻松应对考试！ 1️⃣ 已知终值求现值公式： P = F (1 + i)ⁿ 其中，P表示现值，F表示终值，i表示利率，n表示时间。 2️⃣ 已知年金求终值公式： F = A [ (1 + i) + (1 + i)Ⲡ+ ... + (1 + i)ⁿ ] 其中，F表示终值，A表示年金，i表示利率，n表示时间。利用等比级数求和公式可得。 3️⃣ 已知终值求年金公式（等额分付偿债基金公式）： A = F (1 + i)⁻ⁿ 其中，A表示年金，F表示终值，i表示利率，n表示时间。称为等额分付偿债基金系数，或偿债基金系数，记为(A/F,i)。 4️⃣ 已知年金求现值公式（等额分付现值公式）： P = A [ (1 + i) + (1 + i)Ⲡ+ ... + (1 + i)ⁿ⁻⹠] 其中，P表示现值，A表示年金，i表示利率，n表示时间。利用等比级数求和公式可得。 𐟔 这些公式是工程经济学的基础，掌握它们能帮助你更好地理解和解决各种经济问题。加油学习吧！

0.9循环为什么等于1？数学解释来了！你有没有想过，为什么0.9循环等于1？这看起来好像差了0.00...01啊！𐟤” 数学解释其实，这个问题涉及到数项级数求和的概念。0.9循环其实是一个等比级数，它的公式是：0.9 + 0.9/10 + 0.9/100 + 0.9/1000 + ... 这个级数的公比是1/10，小于1，所以这个级数是收敛的，也就是说它有一个极限值。根据等比级数的求和公式，这个极限值是a1/(1-q)，其中a1是首项，q是公比。所以，当n趋于无穷时，这个级数的和等于0.9/(1-0.1)=1。这就是为什么我们说0.9循环等于1的原因。直观理解如果你觉得数学解释太复杂，其实也可以从直观上理解。想象一下，你有一块钱，然后你把它分成十份，每份是0.1元。然后你再把每份的0.1元分成十份，每份是0.01元。这样一直分下去，最后你会发现你手上的钱越来越多，最终会达到1元。总结所以，0.9循环等于1其实是一个数学上的极限问题。虽然看起来差了那么一点点，但本质上它们是相等的。希望这个解释能让你更清楚地理解这个问题！𐟎“

考研数学一级数学习攻略：收敛性到应用 1. 𐟔 收敛性的奥秘：判断级数是否收敛是数一的关键。掌握比值判别法、根值判别法和积分判别法，同时注意边界情况的处理，是解题的关键。 𐟓š 收敛级数的性质：理解收敛级数的性质对于数一的学习至关重要。特别是部分和的性质，如部分和序列的有界性、子级数的收敛性和级数项的任意交换次序等。 𐟓 常见级数的求和：掌握等差级数、等比级数、幂级数等常见级数的求和公式，并理解这些公式的推导方法，对于解题非常有帮助。 𐟔砧𚧦•𐥈䥈릳•的应用：灵活运用不同级数判别法，并能够判断复杂级数的收敛性。在应用值判别法和根值判别法时，需要多加练习限制条件和极限计算。 𐟓ˆ 应用问题的建模与解答：将实际问题转化为级数形式，然后运用级数的性质和求和公式解答。这需要对问题建模的能力，包括准确识别问题类型、确定级数的递推关系和边界条件等。对于数一级数的学习，除了理解和掌握上述重点和难点，多做题目，进行练习和巩固是非常重要的。只有通过不断的练习和思考，才能夯实基础，提高解题和应用问题的能力。

24考研数学：级数部分全解析 𐟓š级数的概念与性质：张宇老师首先介绍了级数的定义，即一列数的求和结果。他详细讲解了级数的收敛和发散定义，以及级数的性质，如倒数判别法、比值判别法和根值判别法等。 𐟔„绝对收敛与条件收敛：张宇老师解释了绝对收敛和条件收敛的概念，以及它们之间的关系。他强调了绝对收敛级数总是收敛的性质，并通过实例说明了条件收敛级数可能发散的情况。 𐟓ˆ常见级数的求和方法：等比级数：张宇老师介绍了等比级数的求和公式，并通过实例演示了如何判断等比级数的收敛性和求和结果。幂级数：他讲解了幂级数的概念，并介绍了幂级数的收敛半径和求和方法。 𐟧𖦕›级数的运算：张宇老师解释了收敛级数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法运算。通过这些讲解，张宇老师帮助学生深入理解了级数的基本概念和性质，包括收敛和发散的判别方法，绝对收敛和条件收敛的区别，以及常见级数的求和方法。这些知识将为学生在高数考研中解题和理解相关知识提供帮助。

𐟓š 美国高中数学教材：代数2 𐟓š 多项式与有理表达式多项式的运算（加法、减法、乘法、除法）多项式的长除法和综合除法多项式的因式分解有理表达式的运算简化复合分数方程与不等式二次方程的求解（因式分解、配方法和二次公式）方程组与不等式组的求解（代入法、消元法和图形法）根式方程和不等式绝对值方程和不等式求解含有有理指数的方程函数理解和分析函数（定义域、值域和图形）函数的运算（加法、减法、乘法、除法和复合函数）反函数分段函数函数的变换（平移、反射、拉伸和压缩）复数理解虚数单位 i （其中 i^2 = -1）复数的加法、减法、乘法和除法求解具有复数解的二次方程二次函数与抛物线绘制二次函数图形分析二次方程的顶点式和标准式找到顶点、对称轴和开口方向根据图形或一组点写出二次方程指数与对数函数理解和绘制指数函数图形指数与对数定律在指数形式与对数形式之间转换求解指数和对数方程指数增长与衰减的应用有理函数绘制有理函数图形并分析渐近线（垂直、水平和斜渐近线）识别有理函数图形中的空洞求解有理方程数列与级数等差数列与级数等比数列与级数求和符号无穷级数与收敛性圆锥曲线圆、椭圆、抛物线和双曲线的方程与图形根据方程识别圆锥曲线圆锥曲线的应用三角学基本知识基本三角函数（正弦、余弦、正切）直角三角形三角学三角恒等式与方程绘制三角函数图形概率与统计概率规则与概念二项式定理统计学入门（均值、中位数、众数、标准差）

考研数学高等数学部分的押题确实是个技术活，但别担心，我根据历年的真题和今年的考试大纲，给你整理了一些可能的考点和题型，供你参考： 1. 极限与连续 • 可能会考察数列或函数极限的计算，特别是利用洛必达法则、泰勒公式或夹逼定理等求解复杂极限。 • 连续性的概念和性质，以及间断点的分类和判断也是可能的考点。 2. 导数与微分 • 导数的定义、计算和应用，特别是复合函数、隐函数和参数方程的导数。 • 微分的概念和运算，以及微分在近似计算和误差分析中的应用。 3. 不定积分与定积分 • 不定积分的计算，特别是利用凑微分、换元法、分部积分法等技巧。 • 定积分的计算和应用，如几何意义、物理应用等，以及定积分在求解极限、级数等问题中的应用。 • 变上限积分和变下限积分的性质和运算也是可能的考点。 4. 多元函数微积分 • 多元函数的极限、连续、偏导数和全微分的概念和计算。 • 多元函数极值的求解和应用，如条件极值、无条件极值等。 • 隐函数定理和拉格朗日乘数法在求解约束极值问题中的应用。 5. 微分方程 • 一阶和二阶常微分方程的求解方法和应用，如分离变量法、齐次方程、非齐次方程、线性方程等。 • 差分方程的基本概念和解法也是可能的考点。 6. 无穷级数 • 数项级数的收敛性判别和求和，如等差数列、等比数列、调和级数、p级数等。 • 函数项级数的收敛性判别和一致收敛性的概念。 • 幂级数的展开和性质，以及傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念。备考建议： • 回顾以上重点考点，确保对每个考点都有清晰的理解和掌握。 • 多做历年真题和模拟试题，特别是近几年的真题，熟悉考试题型和难度。 • 注重解题方法和策略的学习和掌握，分析各类解题方法的适用范围和优缺点。在主页橱窗我们给您精选了相关图书课程，包括历年真题解析、高频考点精讲、解题技巧总结等，助力你高效备考，冲刺高分！记得查看哦～𐟎“𐟒ꠣ考研数学# #高等数学##动态连更挑战#

级数收敛性判定方法全解析 𐟔娀ƒ前冲刺： [种草R]级数内容的难点在于将和放缩与收敛性判定结合。先判断收敛性，再进行求和。收敛性的判定规则并不复杂，但需要深入理解。 [种草R]复习本章的关键是理清每一步的逻辑关系，通过习题研究熟练掌握常用公式，看到题目就能迅速想到对应的公式。同时，总结一些常用的收敛和发散判断方法。 𐟔奸𘦕𐩡𙧺禕𐯼š [种草R]如果部分和能求出，就是收敛的；求不出就是发散的。 [种草R]收敛的必要条件是单项在趋近无穷时极限为0（不满足则一定是发散的）。 [种草R]收敛级数相加减一定也是收敛的。 [种草R]如果级数收敛，加括号后也一定收敛（但加括号后收敛不能反过来判断是否收敛）。 𐟔妎訮𚯼š [种草R]加括号后发散，那么原来也一定发散。 [拔草R]当原级数趋近无穷时趋近于0，然后相继两项加括号得到的级数收敛，那么原级数必收敛。 [拔草R]级数的敛散性和有限项无关，只考虑在趋近无穷的情况。 [拔草R]常用的级数如几何级数，q^n在|q|≥1时发散，在小于1时收敛，与等比数列有关。 [拔草R]p级数（后面有题）。 𐟔妭㩡𙧺禕𐧚„判定： [种草R]当级数每一项都≥0时，称为正项级数。正项级数的判定只能用于正项级数，非正项级数不可用。 [种草R]正项级数收敛的本质是部分和数列有界。 [拔草R]比较定理（与夹逼定理有同种理论），比较定理的极限形式。 [拔草R]比值和根值判别法：比值法的本质是寻找无穷项级数后一项和前一项之间的关系，如果是递增则无界，递减则有界。根值法本质转化为一个e指数，然后判断lnun的值在无穷的情况下与0之间的关系。 [拔草R]积分判别法：只要判别1到无穷上的积分收敛，也可以判断级数是收敛的。 [种草R]交错级数：一项正一项﹣的级数叫做交错级数，运用莱布尼兹法则，如果级数单调递减且无穷项趋近于0，则交错级数收敛。

级数收敛与发散的判断方法 𐟓š 常数项级数的定义与性质常数项级数就是每一项都固定的级数。它的收敛性可以通过一些方法来判断。等比级数如果等比级数的公比q的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。收敛的和可以用公式S_n = a / (1 - q)来计算。正项级数的判敛方法收敛原则：如果级数{S_n}有界（即单调不减且有上界），那么这个级数是收敛的。比较判别法：找另一个级数进行比较，如果从某一项起，这个级数大于等于原级数，那么原级数是收敛的；如果小于原级数，那么原级数是发散的。比较判别法的极限形式：找另一个级数，上下放求极限，如果极限趋于0，那么原级数是收敛的；如果极限趋于无穷，那么原级数是发散的；如果极限等于常数，那么原级数的敛散性不确定。比值判别法：后项比前一项，再求极限，极限小于1，收敛；大于1，发散；等于1，不定。根植判别法：开n次方根，再求极限，极限小于1，收敛，大于1发散。如果开N次方后不求极限直接能看出大于等于1，则一定发散。积分判别法：找一个单调减少的非负连续函数F(x)，使得un = F(n)，做反常积分，与级数同敛散。交错级数莱布尼兹判别法： un的极限趋于0 un单调不增（后项比前项；后项减前项；令为F函数求导）调和级数发散，但交错调和级数收敛。任意项级数加绝对值，用正项级数判敛法则。绝对收敛：加绝对值收敛，级数也收敛。条件收敛：级数收敛，加绝对值发散。幂级数求和un(x - x0)^n形式，和泰勒展开有联系。要求收敛区间和收敛域（用阿贝尔定理）。收敛域的求法：不缺项的幂级数：加绝对值，用比值或根植法，R = 1/p（极限存在），或∞（极限为0），或0（极限不存在）。缺项的幂级数：先加绝对值；再用正项级数比值或根植（要把x^n带上），令p小于1，得到关于X的定义域，即收敛域。 Ps：收敛半径不变，收敛域或因求导缩小；或因积分扩大。幂级数的和函数在收敛条件下，有数乘、倍加等线性性质；整个计算过程记得先标收敛域。计算手段：拆开成两个级数相乘的形式（涉及恒等变形，使两个级数通项幂次数相等、下标相同）。重要展开式

高数第九章：无穷级数全解析 ### 一、常数项级数：基础与性质 𐟓š 常数项级数的定义常数项级数，顾名思义，就是每一项都是常数的级数。它的定义很简单，就是一堆常数排成一队，形成级数。常数项级数的敛散性级数的敛散性是级数的一个重要性质。常数项级数要么收敛（即和存在），要么发散（即和不存在）。常数项级数的性质常数项级数有五个基本性质，这些性质在解题时非常有用。二、常数项级数的审敛性：技巧与策略 𐟔 正项级数正项级数就是所有项都是正数的级数。它的审敛有特定的条件和技巧。正项级数的定义正项级数的定义很简单，就是所有项都是正数的级数。正项级数审敛的充要条件正项级数收敛的充要条件是级数的和存在。正项级数审敛的充分条件虽然正项级数收敛的充要条件是级数的和存在，但有一些单向成立的充分条件，比如比较审敛法和比值审敛法。必考的三大级数 P级数及其拓展形式、等比级数是正项级数中必须掌握的三种级数。交错级数交错级数就是正负项交替出现的级数。它的审敛有特定的方法和技巧。交错级数的定义交错级数的定义很简单，就是正负项交替出现的级数。莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法是交错级数审敛的一种重要方法。加绝对值法加绝对值法是另一种审敛交错级数的方法。任意项级数：灵活与多变 𐟌ˆ 绝对值性质任意项级数的绝对值性质是判断级数收敛性的重要依据。绝对收敛与条件收敛任意项级数要么绝对收敛（即和存在），要么条件收敛（即和不存在）。任意项级数的判定方法总结任意项级数的判定方法，帮助你更好地理解和应用。三、幂级数：深入与拓展 𐟚€ 函数项级数函数项级数是幂级数的基础，它涉及到的概念和性质非常丰富。函数项级数的定义函数项级数的定义很简单，就是一堆函数排成一队，形成级数。函数项级数相关概念函数项级数涉及到的概念包括收敛域和和函数等。函数项级数收敛域的求法求函数项级数的收敛域是解题的关键。幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它有自己独特的性质和审敛方法。幂级数的定义幂级数的定义很简单，就是所有项都是幂函数的级数。阿贝尔定理阿贝尔定理是幂级数审敛的重要工具。幂级数收敛域的求法求幂级数的收敛域是解题的关键。幂级数的性质幂级数有一些重要的性质，比如和函数性质、逐项可导性和逐项可积性。角标变换角标变换是处理幂级数的一种技巧。函数的幂级数展开函数的幂级数展开是求函数和的重要方法。幂级数求和幂级数求和是求解级数和的关键步骤。通过这些内容，你可以全面掌握无穷级数的概念、性质和审敛方法，为高数的学习打下坚实的基础。

请问画红线这步是怎么来的？